기록: UCL Course on RL 요약 및 정리 (Lecture 9: Exploration and Exploitation)

This post covers not only Lecture 9: Exploration and Exploitation (davidsilver.uk) but also:

• 'Reinforcement Learning' 카테고리의 글 목록 (yjjo)
• The Multi-Armed Bandit Problem and Its Solutions (lilianweng.github.io)
• Bayesian Bandits - Thompson Sampling (tistory.com)
• The entire course materials can be found on the following page: Teaching - David Silver.

Lecture Goal

• MDP를 풀 때 exploration과 exploitation 중 어느 한 쪽만 사용하면 optimality에 도달하지 못한다 (trade-off). 본 강의에서는 둘 사이의 균형을 맞추는 알고리즘을 소개한다.

Credit: UC Berkeley Intro to AI course lecture 11

Takeaway

• Use (Bayes-)UCB algorithms

Exploration vs. Exploitation Dilemma

• Exploitation: make the best decision given current information
• E.g., go to your favorite restaurant
• Exploration: gather more information
• E.g., try a new restaurant
• Dilemma
• The best long-term strategy may involve short-term sacrifices and risks
• How does an agent obtain enough information to make the best overall decisions with the lowest sacrifices?

[In-A-Nutshell] Key Principles and Intuitions for Balancing Exploration and Exploitation

• Random exploration
• E.g., \(\epsilon\)-greedy: naive exploration adding noise to greedy policy
• Optimism in the face of uncertainty
• Method 1: optimistic initialization
• Initialize action-value function \(Q(s,a)\) to some large value
• 처음부터 initial value를 과하게 큰 값으로 주면, experience를 통해 이미 방문해본 action의 value는 initial value보다 작아진다.
• 이렇게 아직 선택해보지 않은 액션의 value가 선택해본 액션의 value보다 항상 크다면 exploration을 장려할 수 있다.
• Method 2: upper confidence bounds
• 자주 방문해본 action은 return을 상당히 정확하게 추정할 수 있는 반면, 몇 번 방문해보지 않은 action은 return 추정이 불확실하다. 따라서, 불확실성(uncertainty)을 정량화 한 뒤에, 불확실성이 더 큰 action을 취하도록 하면 exploration을 장려할 수 있다.
• 불확실성을 정량화하는 도구가 confidence bounds/interval
• \(\Rightarrow\) UCB algorithm, Bayesian UCB
• Method 3: probability matching
• Select an action according to the probability that the action is best among other actions
• 최종 보상을 높이기 위한 아주 직관적인 방법
• 이것도 upper confidence bounds를 고려한 exploration처럼, 얼마 방문해보지 못한 action은 return의 분산이 크므로, 다른 action보다 평균적인 return이 더 클 수도 있다는 직관을 활용
• Bayesian bandit
• \(\Rightarrow\) Thompson sampling
• Cons of the optimism
• 로봇이나 헬리콥터 등 심각한 음의 reward를 갖는 (접촉사고, agent 파손 등) RL 문제에서는 오히려 아주 안전한 선택을 위해 uncertainty에 비관적인 선택을 해야 하기도 한다.
• 또한, action space가 무한해서 아무리 exploration을 해도 더 explore해야 하는 space가 남아 있다면 영원히 알고리즘이 수렴하지 못한다.
• Information state space search
• Exploration is useful because it gains information
• Can we quantify the value of information? 
• If we quantify the value of information, we can trade-off exploration and exploitation optimally.
• Bernoulli bandit
• \(\Rightarrow\) Bayes-adaptive MDP, Gittins indices

Simplified Setting: Bandit

• We first develop each of the above principles in several simplified settings, called bandit problems.
• But the same principles also apply to the MDP settings.

Multi-Armed Bandit Problem

• Great study material (Korean): Introduction to Multi-Armed Bandits (1) (tistory.com)
  
  
• 
• 다섯번째 bullet point는 각 액션이 받을 reward가 static하지 않고 어떤 확률 분포에 따라 샘플링된다는 걸 뜻한다.

Def. Regret

• 
• 세번째 bullet point에서 기댓값은 (당연히도) 각 time-step에서 어떤 action을 선택할 확률에 (즉, policy) 의해 결정된다: \(\pi(a)=\mathbb{P}[a_t=a]\).
  
  
• 

• 문제는, optimal value를 모르기 때문에 regret도 정확히 구할 수 없으므로, 결국 각 액션의 gap을 추정하는 문제로 귀결된다.
• 직관적으로, 안 좋은 (gap이 큰) 액션을 최대한 적게 뽑고 좋은 액션을 최대한 자주 뽑아야 totol regret이 줄어든다.

Linear or Sublinear Total Regret

• 
• \(\epsilon\)-greedy policy은 대표적인 exploration 방법이다. 그러나 끊임없이 일정한 빈도로 무작위한 액션을 선택하기 때문에, 최고의 액션 하나만을 선택하지 못하고 끊임없이 sub-optimal 액션 혹은 아주 나쁜 액션을 선택하게 된다. 따라서 선형적으로 total regret이 증가한다.
• Greedy policy는 처음에 선택한 (또는 각 액션마다 몇 회의 exploration을 한 뒤 얻은 value의 평균값으로 선택한) 액션이 운좋게 best action이 아닌 이상에야, 계속 total regret이 증가할 수 밖에 없다.
• 일반적으로 \(\epsilon\)-greedy의 \(\epsilon\) 값을 시간이 지남에 따라 점차 줄여 나가면 sublinear total regret을 얻을 수 있다.

Optimistic Initialization

• Initialize action-value function \(Q(s,a)\) (e.g., approximation function, tabular data structure, etc.) larger than the maximum possible reward.
• E.g., \(Q(s,a) \leftarrow \frac{r_{\max}}{1-\gamma} \forall s,a\)
• Note: \(r+\gamma r + \gamma^2 r + \cdots = \frac{r}{1-\gamma}\) if \(0 \le \gamma < 1\)
• It encourages an agent to explore unproven actions.
• 아직 선택해보지 않은 액션의 value는 선택해본 액션의 value보다 항상 크므로, exploration을 장려할 수 있다.
• But can still lock onto suboptimal action
• 초반에만 exploration을 하고, 시간이 지난 후에는 exploitation만 수행하게 됨
• Greedy + optimistic init. \(\rightarrow\) linear total regret
• \(\epsilon\)-greedy + optimistic init. \(\rightarrow\) linear total regret

Lower Bound of Total Regret over Time

• 
• \(\Rightarrow\) 의미: 잘해봐야 regret은 시간에 대해 지수적으로 증가한다. 혹은, 지수적으로 증가하는 exploitation-exploration 알고리즘을 만들었다면 꽤 잘하는 축에 드는 것이다.
• 분자: action끼리 서로 reward 평균값이 다를수록 total regret 상승
• 분모: action끼리 서로 reward 분포가 비슷할수록 total regret 상승
• \(\Rightarrow\) (직관적으로도) 차선과 최선의 action이 모양은 비슷하나 평균이 크게 다른 reward 분포를 가지면, 차선과 최선의 action을 구분하기 어려워 total regret을 줄이기 힘들다.

Decaying \(\epsilon_t\)-Greedy Algorithm

• 
• 결국 실전에서는 위 식을 정확히 활용할 수는 없다.
• 대충 \(\epsilon_t = 1/t\)로 설정하면 GLIE를 만족하여 Monte-Carlo control이 optimal에 수렴 (기록: UCL Course on RL 요약 및 정리 (Lecture 5: Model-Free Control)).

Upper Confidence Bounds

• 자주 방문해본 action은 return을 상당히 정확하게 추정할 수 있는 반면, 몇 번 방문해보지 않은 action은 return 추정이 불확실하다. 따라서, 불확실성(uncertainty)을 정량화 한 뒤에, 불확실성이 더 큰 action을 취하도록 하면 exploration을 장려할 수 있다.
  
• 이를 수식으로 보충 설명하면 아래와 같다:
• Multi-armed bandit 문제에서 action \(a\)를 \(N_t(a)\)회 선택했다고 하고 그 return을 \(\hat{Q}_t(a) = \frac{1}{N_t(a)}\sum_{\tau=1}^{t}r_{\tau}\mathbb{1}(a_\tau=a)\)로 추정하는 상황을 가정하자. Reward 분포는 0과 1사이에서만 정의된다 가정하자 (따라서, bounded distribution에만 적용 가능).
• 즉, \(\hat{Q}_t(a)\)는 모평균 \(Q(a) = \mathbb{E}[r|a]\)를 근사하는 표본 평균이다.
• 그러면 아래 Hoeffding의 정리에 따라, 실제 알고자 하는 \(Q(a)\)가 지금까지 샘플링으로 알아낸 \(\hat{Q}_t(a)\)보다 \(U_t(a)\) 만큼 클 가능성은 \(\exp(-2N_t(a)U_t(a)^2)\)보다 낮거나 같다.
• 
• 달리 말하면, 실제 \(Q(a)\)가 존재할 가능성이 최소 \(1-\exp(-2N_t(a)U_t(a)^2)\)만큼 되는 구간을 찾자면, \(\hat{Q}_t(a)+U_t(a)\) 이하의 구간이다. 즉, \(Q(a) \le \hat{Q}_t(a)+U_t(a)\)임을 최소 \(1-\exp(-2N_t(a)U_t(a)^2)\)만큼의 자신감으로 주장할 수 있다. 따라서 \(\hat{Q}_t(a)+U_t(a)\)를 upper confidence bound라고 한다.
  
  
• 
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• UCB1 algorithm
• Select an action maximizing \(\hat{Q}_t(a)+\sqrt{\frac{2\log{t}}{N_t(a)}}\) (아래 수식 hat 틀림)
  
  
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• UCB vs. \(\epsilon\)-greedy
• \(\epsilon\)을 잘 선택하면 UCB만큼 잘할 수 있다. 그러나 \(\epsilon\)을 잘 선택하는 게 어렵다.
• Others than Hoeffding's inequality
• Hoeffding의 부등식은 확률 변수 \(X_i\)에 거의 아무런 조건도 가정하지 않는다. 범용성이 높다는 장점도 있지만, 모든 케이스에서 다 적용되는 부등식이다 보니 bound \(\exp(-2N_t(a)U_t(a)^2)\)가 너무 헐겁다는 단점도 있다. Reward \(R_t\)의 분포에 관해 이미 알고 있는 쓸만한 정보가 있다면 (e.g., Bernoulli), UCB에 다른 부등식 공식을 적용해 더 엄격한 bound를 구할 수 있다:
• Bernstein's inequality
• Empirical Bernstein's inequality
• Chernoff's inequality
• Azuma's inequality

Model-Free RL: Upper Confidence Bounds

• MDP에도 UCB를 거의 그대로 적용할 수 있느나, 실은 미래에 policy improvement가 진행되면서 얼마나 각각의 action-value가 향상될 것인지도 고려해야 한다. 즉, 아직 탐색하지 않은 action은 향후 policy improvement가 진행되면서 더욱 향상될 가능성이 있다고 보는 것이다.
  
  
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Model-Based RL: Bayesian UCB

• Disclaimer: UCL 강의에서 Bayes 관련 내용들을 (BayesUCB 등) 제대로 설명하지 않고 굉장히 추상적이고 비유적으로만 해석하고 넘어간다.
• 위 UCB 알고리즘에서는 단순히 시점 \(t\)까지 action \(a\)를 선택한 횟수 \(N_t(a)\)만 저장해서 upper confidence bound를 계산하였다.
• 그리고 Hoeffding의 정리는 확률 변수의 범위를 제외하고는 아무것도 가정하지 않기 때문에 confidence interval이 상당히 성기다. 확률 변수의 모양이나 분포에 관해 좀 더 정확한 정보를 RL experience를 통해 얻을 수 있다면, confidence interval을 좀 더 정확하게 파악할 수 있다.

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  Csaba Szepesv´ari

• Model-based RL에서는 transition probabilities와 rewards 정보를 학습 과정(experience)에서 저장하므로 이걸 이용해보자는 게 Bayesian bandit과 Bayesian UCB
• Bayesian UCB
• Likelihood: Transition probabilites와 rewards의 모수가 주어질 때 둘은 어떤 분포(e.g., Gaussian, Bernoulli)를 따른다고 가정하자.
• 
• Prior: likelihood가 특정 분포라고 할 때, 해당 분포의 모수가 어떤 분포를 띌지도 가정해야 한다. 예를 들어, likelihood를 카테고리 분포로 둔다면, 이 분포의 모수는 0부터 1사이의 값을 가지므로 prior를 디리클레 분포라고 가정할 수 있다.
• Posterior: 우리가 원하는 건, model이 추적한 현재까지의 history에 근거했을 때 rewards(와 transition)가 어떤 모수를 가질지 알아내는 것이다. 가장 그럴 듯한 모수를 찾아내면 likelihood의 가정에 따라 reward 분포를 알아낼 수 있다. 베이즈 정리에 따르면, \(\mathrm{(posterior)} \propto \mathrm{(likelihood)\cdot (prior)}\)이다.
• 이런 과정을 통해, 현재까지 학습한 정보인 history를 관찰함으로써 rewards와 transition probabilities 분포를 추정할 수 있다.
• Bayesian UCB example: independent Gaussians
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• Suppose reward distribution is Gaussian \(\mathcal{R}^a(r) = \mathcal{N}(r;\mu_a,\sigma_a^2)\).
• 따라서 모수만 정확히 알면 \(\mathcal{R}^a(r)=\mathbb{P}[r|a]\)의 분포를 알 수 있고 그럼 기댓값을 계산할 수 있으므로 \(Q(a)=\mathbb{E}[r|a]\)를 알 수 있다. 문제는 모수를 모른다는 것. 따라서 현재까지의 history와 Bayes law를 근거로 이 모수를 추정해보자.
• Compute Gaussian posterior by Bayes law:
• \(\mathrm{(posterior)} \propto \mathrm{(likelihood)\cdot (prior)}\)
• \(\mathbb{P}[\mu_a,\sigma_a^2|h_t] \propto \mathbb{P}[h_t|\mu_a,\sigma_a^2] \cdot \mathbb{P}[\mu_a,\sigma_a^2]\)
  \(\mathbb{P}[\mu_a,\sigma_a^2|h_t] \propto \prod_{t|a_t=a} \mathcal{N}(r_t;\mu_a,\sigma_a^2) \cdot \mathbb{P}[\mu_a,\sigma_a^2]\)
• \(h_t\)는 이때까지 어떤 액션과 어떤 reward를 얻었는지에 관한 기록 (action \(a\)에 관한 reward 기록만 있으면 되긴 함)
• \(\mathbb{P}[\mu_a,\sigma_a^2|h_t]\)는 \(\mu_a,\sigma_a^2\) 만의 함수 이므로 미분한다거나 해서 posterior를 최대화하는 (즉, 가장 가능성 높아보이는) 모수를 찾는다 (maximum a posteriori).
• Pick action that maximize UCB:
• \(a_t = \mathrm{argmax}\;\mu_a+c\sigma_a/\sqrt{N_t(a)}\)
• Cons of Bayesian UCB
• Prior나 likelihood에 관한 가정을 하기 힘들 때, 그냥 UCB를 사용하는 게 낫다.